Importancia de la investigación de operaciones (página 2)

Restricciones: 300 min. Diarios 125 unidades 90
tarjetas 16 Mb 80 tarjetas 32 Mb F.O Máx. Z =
45X1+60X2 s.a 2X1+3X2 < 300 X1 + X2 <
125 X1 < 90 X2 < 80 cnn x1, x2 >
0

FORMULACION DE PROBLEMAS Problema
01: Una compañía elabora dos productos P1
y P2 cada uno requiere de componentes C1 y C2 la disponibilidad
de componentes y precio de venta se muestra en el siguiente
cuadro:

Se pide formular el problema y optimizar el ingreso de
ventas Solución 01: Xi = unidades del producto a
producir (i = 1, 2) Función Objetivo: max Z = 4X1
+ 3X2 Restricciones: X1 + 3X2 <= 15,000 2X1 + X2
<= 10,000 X1, X2 >= 0 Para el problema la función
objetivo Z = 4X1 + 3X2 indica que X1 son la unidades del producto
1 cuyo precio de venta es 4 soles, X2 son la unidades del
producto 2 cuyo precio de venta es 3 soles. Esta función
llamada objetivo será óptima si consideramos las
restricciones mencionadas, es decir las unidades del producto X1
más las unidades del producto X2 multiplicado por 3 debe
ser menor que 15,000 unidades.

Este problema busca encontrar una ecuación
matemática que optimice el ingreso de ventas, es decir que
sea más rentable eligiendo un número determinado de
componentes para la elaboración de cada
producto.

Así mismo no sólo consiste en encontrar la
fórmula matemática sino que está en
función una serie de restricciones para que se logre la
optimización.

Problema 02: Las capacidades de
producción del producto P de las fábricas A y B,
los costos por unidad transportada a los centros de consumo C1 y
C2 y las demandas de estos son como sigue:

Se pide formular el problema y minimizar el costo total
de transporte Solución 02: Xij =unidades
transportadas de la fábrica i (i = 1,2) al centro de
consumo j (j = 1,2) Función Objetivo: mín
Z = 5X11 + 10X12 + 12X21 + 3X22 Restricciones:
Fábrica A: X11 + X12 <= 300 Fábrica B: X21 + X22
<= 400 Centro de Consumo C1: X11 + X21 >= 250 Centro de
Consumo C2: X12 + X22 >= 350 Este problema nos pareció
muy interesante incluirlo porque se trata de minimizar los costos
de transporte mediante un modelo matemático considerando
restricciones que se dan en la producción (capacidad de
fábrica) y en la demanda. En la función objetivo se
toma los costos unitarios por las unidades transportadas de cada
fábrica hacia cada centro de consumo.

Problema 03: La capacidad de
producción de TEXTIL-PERU es de 900 unidades mensuales.
Los costos unitarios de producción y el compromiso mensual
de venta a EXPORT-PERU son como sigue:

Se pide formular el problema:

Solución 03: Xi = Producción en
el mes i (i=1,2,3) Función Objetivo: min Z =
100X1 + 150X2 +200X3 Restricciones: Mes 1: X1 <= 900
X1 >= 300 Mes 2: X2 <= 900 X1 + X2 >= 650 Mes 3: X3
<= 900 X1 + X2 + X3 >= 1050 El objetivo de este problema es
minimizar los costos en función de una serie de
restricciones (capacidad de producción y compromiso de
venta). La función objetivo está en función
al producto de lo costos unitarios y unidades a producir. En las
restricciones se considera los compromisos de venta para cada
mes.

Problema 04: FLORANID S.A., es una
empresa dedicada a la comercialización de abonos para
plantas que emplea 3 tipos diferentes de ingredientes A, B y C,
para conseguir 3 tipos de abonos 1, 2, y 3.

En cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es
limitada y sus costos son los siguientes:

Los costos de los abonos son:

Abono 1 ( 2.000 pts/kg Abono 2 ( 3.000 pts/kg Abono 3 (
1500 pts/kg.

Además de lo anterior, los ingredientes han de
mezclarse en proporciones específicas para asegurar una
combinación adecuada:

Para el abono 1, no menos del 25 % de A y no más
del 40 % de C; para el abono 2, no menos del 30 % de A, no menos
del 20 % ni más del 30 % de B y no más del 15 % de
C; y para el abono 3, no menos del 35 % de B.

Con todos los datos que FLORANID S.A. nos ha facilitado,
nos piden que determinemos: ¿Cuánta cantidad de
cada tipo de abono hay que producir de forma que se maximice el
beneficio de la compañía? Así pues, con los
datos facilitados, podemos construir un primer esquema que nos
permitirá desarrollar el modelo de programación
lineal para la resolución del problema:

VARIABLES DE DECISIÓN Xij : cantidad de
ingrediente del tipo i para cada tipo de abono
j. RESTRICCIONES

X11 + X12
+ X13 ( 4000 X21 + X22 + X23 ( 6000 Restricciones de
disponibilidad X31 + X32 + X33 ( 2000

0,75 X11 – 0,25 X21 – 0,25 X31 ( 0 0,60 X31
– 0,40 X11 – 0,40 X21 ( 0 0,70 X12 – 0,30 X22
– 0,30 X32 ( 0 0,80 X22 – 0,20 X12 – 0,20 X32 (
0 Restricciones específicas de la mezcla 0,70 X22
– 0,30 X12 – 0,30 X32 ( 0 0,85 X32 – 0,15 X22
– 0,15 X12 ( 0 0,65 X23 – 0,35 X13 – 0,35 X33 (
0 FUNCIÓN OBJETIVO Bº = Ingresos – Gastos Abono
1:

2000(X11 + X21 + X31) – 1300X11 – 1500X21
– 1000X31 = 700X11 + 500X21 + 1000X31 Abono 2:

3000(X12 + X22 + X32) – 1300X12 – 1500X22
– 1000X32 = 1700X12 + 1500X22 + 2000X32 Abono 3:

1500(X13 + X23 + X33) – 1300X13 – 1500X23
– 1000X33 = 200X13 + 500X33 Max (700X11 + 1700X12 + 200X13
+ 500X21 + 1500X22 + 1000X31 + 2000X32 + 500X33) Así pues,
una vez definidas las variables de decisión, la
función objetivo y las restricciones sujetas a ella, hemos
trabajado los datos para proceder a su resolución. Por
tanto, en el siguiente cuadro se muestra el resumen de la
solución óptima hallada a través de los
cálculos, y en la siguiente página presentamos el
último cuadro del SIMPLEX.

SOLUCIÓN ÓPTIMA:

En este cuadro se destaca principalmente la presencia de
10 variables de holgura (S), cada una de las cuales hace
referencia a cada una de las restricciones que condicionan a la
función objetivo. Por tanto, puesto que ya sabemos que una
variable básica es aquella cuya solución
óptima es diferente de cero, podríamos clasificar
las variables de la solución de la siguiente
forma:

Variables básicas: X12 , X22 , X23 , X32 , X33 ,
S2 , S6 , S7 .

Variables no básicas: X11 , X13 , X21 , X31 , S1
, S3 , S4 , S5 , S8 , S9 , S10 Así pues, tal y como se ve
reflejado en la solución del modelo de programación
lineal que hemos definido, estas serían las combinaciones
de ingredientes y las cantidades de abono producidas que nos
permiten maximizar el beneficio:

Abono 1:

No utilizamos ningún ingrediente para conseguir
este tipo de abono, por lo que no vamos a producir nada de
él.

Abono 2:

Para conseguir este tipo de abono emplearemos 4000 kg
del ingrediente A, 2182 kg del ingrediente B y 1091 kg del
ingrediente C por lo que vamos a producir y vender 7273 kg del
abono tipo 1.

Abono 3:

Para producir este tipo de abono emplearemos 490 kg del
ingrediente B y 909 kg del ingrediente C, sin utilizar nada del
ingrediente A, a partir de los cuales produciremos y venderemos
1399 kg del abono tipo 3.

Problema 05: (Mezcla) Una
compañía destiladora tiene dos grados de
güisqui en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales
produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene un 50%
de cada uno de los grados I y II, mientras que la marca
súper consta de dos terceras parte del grado I y una
tercera parte del grado II. La compañía dispone de
3000 galones de grado I y 2000 galones del grado II para mezcla.
Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5,
mientras que cada galón del súper produce una
utilidad de $6 ¿Cuántos galones de cada marca
debería producir la compañía a fin de
maximizar sus utilidades?

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de güisqui de la marca regular en galones x2 = la
Cantidad de güisqui de la marca súper en galones Max
Z = 5×1 + 6×2 …….(1) Sujeto a:

1500×1 + 1000×2 < 3000 …….. (2) 2250×1
+ 500×2 < 2000 ……….(3) lo que queda
Planteado x1, x2 > 0

Problema 06: (Mezcla) Una
compañía vende dos mezclas diferentes de nueces. La
mezcla más barata contiene un 80% de cacahuates y un 20%
de nueces, mientras que las más cara contiene 50% de cada
tipo. Cada semana la compañía obtiene 1800 kilos de
cacahuates y 1200 kilos de nueces de sus fuentes de suministros.
¿Cuántos kilos de cada mezcla debería
producir a fin de maximizar las utilidades si las ganancias son
de $ 10 por cada kilo de la mezcla más barata y de $ 15
por cada kilo de la mezcla más cara?

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de mezcla de la marca BARATA en kilogramos x2 = la
Cantidad de mezcla de la marca CARA en kilogramos Max Z = 10×1 +
15×2 …….(1) Sujeto a:

1440×1 + 240×2 < 1800 …….. (2) 900×1 +
600×2 < 1200 ……….(3) lo que queda
Planteado x1, x2 > 0

Problema 07: (Decisiones sobre
producción) Una compañía produce dos
productos, A y B. Cada unida de A requiere 2 horas en cada
máquina y 5 horas en una segunda máquina. Cada
unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3
horas en la segunda máquina. Se dispone de 100 horas a la
semana en la primera máquina y de 110 horas en la segunda
máquina. Si la compañía obtiene una utilidad
de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B
¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad
con objeto de maximizar la utilidad total?

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad
de producción de B en unidades Max Z = 70×1 + 50×2
…….(1) Sujetos a:

2×1 + 4×2 < 100 ……… (2) 5×1 + 3×2
< 110 ……….(3) lo que queda Planteado x1,
x2 > 0

Problema 08: (Decisiones sobre
producción) En el ejercicio anterior, suponga que se
recibe una orden por 14 unidades de A a la semana. Si la orden
debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad
máxima.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad
de producción de B en unidades Max Z = 70×1 + 50×2
…….(1) Sujeto a:

2×1 + 4×2 < 100 …….. (2) 5×1 + 3×2 <
110 ……….(3) lo que queda Planteado x1, x2
> 0

Problema 09: (Decisiones sobre
Producción). Un fabricante produce dos productos, A y B,
cada uno de los cuales requiere tiempo en tres máquina,
como se indica a continuación:

Si los número de horas disponibles en las
máquinas al mes son 200, 240 y 190 en el caso de la
primera, segunda y tercera, respectivamente, determine
cuántas unidades de cada producto deben producirse a fin
de maximizar la utilidad total.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad
de producción de B en unidades Max Z = 250×1 + 300×2
…….(1) Sujeto a:

2×1 + 5×2 < 200 ……… (2) 4×1 + 1×2
< 240 ………(3) 3×1 + 2×2 < 190 ………..
(4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Problema 10: (Decisiones sobre
producción) En el ejercicio anterior, suponga que una
repentina baja en la demanda del mercado del producto A obliga a
la compañía a incrementar su precio. Si la utilidad
por cada unidad de A se incrementa a $600, determine el nuevo
programa de producción que maximiza la utilidad
total.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad
de producción de B en unidades Max Z = 250×1 + 300×2
…….(1) Sujeto a:

2×1 + 5×2 < 200 ……… (2) 4×1 + 1×2
< 240 ………(3) 3×1 + 2×2 < 190 ………..
(4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Problema 11: (Decisiones sobre
producción) En el ejercicio 5, suponga que el fabricante
es forzado por la competencia a reducir el margen de utilidad del
producto B. ¿Cuánto puede bajar la utilidad de B
antes de que el fabricante deba cambiar el programa de
producción? (El programa de producción siempre debe
elegirse de modo que maximice la utilidad total).

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción de A en unidades x2 = la Cantidad
de producción de B en unidades pero en éste caso,
debemos tomar en cuenta que se debe minimizar, ahora la UTILIDAD
del PRODUCTO B, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por
lo tanto queda:

Max Z = 250×1 + 150×2 …….(1) (El programa
de producción siempre debe elegirse de modo que maximice
la utilidad total).

Sujeto a:

2×1 + 5×2 < 200 ……… (2) 4×1 + 1×2
< 240 ………(3) 3×1 + 2×2 < 190 ………..
(4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Problema 12: (Decisiones sobre
inversión) Un gerente de Finanzas tiene $ 1(106 de un
fondo de pensiones, parte de cual debe invertirse. El gerente
tiene dos inversiones en mente, unos bonos conversadores que
producen un 6% anual y unos bonos hipotecarios más
efectivo que producen un 10% anual. De acuerdo con las
regulaciones del gobierno, no más del 25% de la cantidad
invertida puede estar en bonos hipotecarios. Más
aún, lo mínimo que puede ponerse en bonos
hipotecarios es de %100,000. Determine las cantidades de la dos
inversiones que maximizarán la inversión
total.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de la inversión en bonos conservadores x2 = la
Cantidad de la inversión en bonos hipotecarios Max Z = x1
+ x2 …….(1) Sujetos a:

(0.06)(1,000,000)x1 + (0.1)(1,000,000)x2 <
(1,000,000)(0.25) ……… (2) x2 > 100,000
……… (3) x1, x2 > 0

Problema 13: (Decisiones sobre
plantación de cultivos) Un granjero tiene 100 acre pies en
los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $ 3000 a fin de
cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un
total de 1350 horas-hombre destinadas a la recolección de
los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos
por acre:

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies x2
= la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre
pies Max Z = 100×1 + 300×2 …….(1) (El programa de
producción siempre debe elegirse de modo que maximice la
utilidad total).

Sujeto a:

x1 + x2 < 100 ……… (2) esta ecuación se
debe a que sólo tiene 100 acre pies para los cultivos 5×1
+ 20×2 < 1350…… (3) 20×1 + 40×2 < 3000 ……(4)
lo que queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 14:
(Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejercicio
anterior, determine la porción del terreno que
deberá plantearse con cada cultivo si la utilidad por
concepto del segundo cultivo sube a $ 450 por acre.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción del PRIMER CULTIVO en acre pies x2
= la Cantidad de producción del SEGUNDO CULTIVO en acre
pies Max Z = 100×1 + 450×2 …….(1) (El programa de
producción siempre debe elegirse de modo que maximice la
utilidad total).

Sujeto a:

5×1 + 20×2 < 1350…… (2) 20×1 + 40×2 <
3000 ……(3) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Problema 15: (Planeación
dietética) La dietista de un hospital debe encontrar la
combinación más barata de dos productos, A y B, que
contienen:

• al menos 0.5 miligramos de tiamina

• al menos 600 calorías

Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad mas Barata del producto A x2 = la
Cantidad mas Barata del Producto B Max Z = x1 + x2
…….(1) Sujeto a:

0.2×1 + 0.08×2 > 0.5…… (2) (al menos) 100×1
+ 150×2 > 150 ……(3) lo que queda Planteado x1, x2 >
0

Problema 16: (Purificación del
mineral) Una compañía posee dos minas, P y Q. En el
cuadro siguiente se muestra la producción de los elementos
por cada tonelada producida por ambas minas
respectivamente:

La compañía debe producir cada semana, al
menos las siguientes cantidades de los metales que se muestran a
continuación:

• 87,500 libras de cobre

• 16,000 libras de zinc

• 5,000 libras de molibdeno

¿Cuánto mineral deberá obtenerse de
cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de
producción a un costo mínimo?
Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en libras x2 =
la Cantidad de Mineral de la MINA Q en libras Max Z = 50×1 + 60×2
…….(1) 50×1 + 15×2 < 87,500 ……… (2)
(COBRE) 4×1 + 8×2 < 16,000…… (3) (ZINC) x1 + 3×2 <
5000 ……(4) (MOLIBDENO) x1, x2 > 0 lo que queda
planteado

Problema 17: (Espacio de Almacenamiento)
La bodega de un depa, de química industrial, almacena, al
menos 300 vasos de un tamaño y 400 de un segundo
tamaño. Se ha decidido que el número total de vasos
almacenados no debe exceder de 1200. Determine la cantidades
posibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y
muéstrelo con un gráfica.

Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 =
la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2
…….(1) Sujeto a:

x1 > 300…… (2) (al menos) x2 > 400
……(3) x1 + x2 < 1200 …….(4) x1, x2 > 0

Problema 18: (Espacio de Almacenamiento)
En el ejercicio anterior, supongamos que los vasos del primer
tamaño ocupan 9 in2 del anaquel y los del segundo 6 in2.
El área total de anaqueles disponibles para almacenar es a
lo sumo de 62.8 ft2. Determine las cantidades posibles de los
vasos y muéstrelo con una gráfica.

Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad de vasos de primer tamaño x2 =
la Cantidad de vasos de segundo tamaño Max Z = x1 + x2
…….(1) Sujeto a:

x1 > 300…… (2) (al menos) x2 > 400
……(3) x1 + x2 < 1200 …….(4) 9×1 + 6×2 < 62.8
…….(5) x1, x2 > 0

Problema 19: (Planeación
Dietética) Una persona está pensando reemplazar en
su dieta de la carne por frijoles de soya. Una onza de carne
contiene un promedio de casi de 7 gramos de proteína
mientras que una onza de frijoles de soya (verde) contiene casi 3
gramos de proteína. Si requiere que si consumo de
proteína diaria que obtiene de la carne y de los frijoles
de soya combinados debe ser al menos de 50 gramos.
¿Qué combinación de éstos nutrientes
formarán un dieta aceptable? Solución:

Variables:

x1 = la Cantidad de Carne x2 = la Cantidad de Frijoles
de Soya Min Z = x1 + x2 …….(1) Sujeto a:

7×1 + 3×2 > 50 …….(5) x1, x2 > 0

Problema 20: (Ecología) Un
estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias
de peces S y T. Hay dos tipos de comida F1 y F2 disponibles en el
estanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento diario
promedio de alimento para cada pez de cada especia está
dado en el cuadro siguiente:

If there are six hundred of F1 and three hundred of F2
everyday. How do you debit supply the pool for what the total
weight of fishes are at least 400 pounds?
Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE S) en Primavera en
Unidades x2 = la Cantidad de abastecimiento de Peces (ESPECIE T)
en Primavera en Unidades Max Z = x1 + x2 …….(1)
Sujeto a:

2×1 + 3×2 < 600 …….. (2) 3×1 + 1×2 <
300 ……….(3) 3×1 + 2×2 > 400 lo que queda
Planteado x1, x2 > 0

Problema 21: Un granjero tiene 200
cerdos que consumen 90 libras de comida especial todos los
días. El alimento se prepara como una mezcla de
maíz y harina de soya con las siguientes
composiciones:

Libras por Libra de Alimento

Los requisitos de alimento de los cerdos son:

• Cuando menos 1% de calcio

• Por lo menos 30% de proteína

• Máximo 5% de fibra

Determine la mezcla de alimentos con el mínimo de
costo por día Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la
Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z =
0.2×1 + 0.6×2 …….(1) Sujetos a:

0.001×1 + 0.002×2 < (90)(0.01) …….. (2)
0.09×1 + 0.6×2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02×1
+ 0.06×2 > (90)(0.05) ………. (4) lo que queda Planteado
x1, x2 > 0

Problema 22: Un pequeño banco
asigna un máximo de $20,000 para préstamos
personales y para automóviles durante el mes siguiente. El
banco cobra una tasa de interés anual del 14% a
préstamos personales y del 12% a préstamos para
automóvil. Ambos tipos de préstamos se saldan en
periodos de tres años. El monto de los préstamos
para automóvil desde ser cuando menos de dos veces mayor
que el de los préstamos personales. La experiencia pasada
ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de
todos los préstamos personales ¿Cómo deben
asignarse los fondos? Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad Fondos de préstamos personales x2 = la Cantidad
fondos de préstamos para automóvil Min Z = 0.2×1 +
0.6×2 …….(1) Sujetos a:

(0.14)(20,000)x1 + (0.12)(20,000)x2 < 20000
…….. (2) x2 > (2)(0.14)(20,000)
……….(3) x1 > (0.01)(0.12)(20,000)
………. (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Problema 23: Una planta armadora de
radios produce dos modelos HiFi-1 y HiFi-2 en la misma
línea de ensamble. La línea de ensamble consta de
tres estaciones. Los tiempos de ensamble en la estaciones de
trabajo son:

Cada estación de trabajo tiene una disponibilidad
máxima de 480 minutos por día. Sin embargo, las
estaciones de trabajo requieren mantenimiento diario, que
contribuye al 10%, 14% y 12% de los 480 minutos totales de que se
dispone diariamente para las estaciones 1, 2 y 3 respectivamente.
La compañía desea determinar las unidades diarias
que se ensamblarán de HiFi-1 y HiFi-2 a fin de minimizar
la suma de tiempos no usados (inactivos) en la tres
estaciones.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad de Unidades Diarias de HiFi – 1 x2 = la Cantidad de
Unidades Diarias de HiFi – 2 Min Z = x1 + x2 …….(1)
Sujeto a:

6×1 + 4×2 < (0.1)(480) …….. (2) 5×1 +
5×2 < (0.14)(480) ……….(3) 4×1 + 6×2 >
(0.12)(480) ………. (4) lo que queda Planteado x1, x2 >
0

Problema 24: Una compañía
de productos electrónicos, produce dos modelos de radio,
cada uno en una línea de producción de volumen
diferente. La capacidad diaria de la primera línea es de
60 unidades y la segunda es de 75 radios. Cada unidad del primer
modelos utiliza 10 piezas de ciertos componente
electrónicos, en tanto que cada unidad del segundo modelos
requiere ocho piezas del mismo componente. La disponibilidad
diaria máxima del componente especial es de 800 piezas. La
ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es $30 y $ 20,
respectivamente. Determine la producción diaria
óptima de cada modelo de radio.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de producción del modelo 1 de Radio x2 = la
Cantidad de producción del modelo 2 de Radio Max Z = 30×1
+ 20×2 …….(1) Sujeto a:

x1 < 60 …….. (2) 10×1 + 8×2 < 800
……….(3) x2 < 75 ………. (4) lo que
queda Planteado x1, x2 > 0 Problema 25: Dos
productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres
máquina. El tiempo por máquina asignado a los
productos está limitado a 10 horas por día. El
tiempo de producción y la ganancia por unidad de cada
producto son:

Minutos Por Unidad

Nota: Determine la combinación óptima de
los productos.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad de Unidades del Producto 1 x2 = la Cantidad de Unidades
del Producto 2 Min Z = 2×1 + 3×2 …….(1) Sujeto
a:

10×1 + 5×2 < 10 …….. (2) 6×1 + 20×2
< 10 ……….(3) 8×1 + 15×2 < 10
………. (4) lo que queda Planteado x1, x2 > 0

Problema 26: Una compañía
puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio
y televisión locales. Su presupuesto limita los gastos de
publicidad de $1000 por mes cada minutos de anuncio en la radio
cuesta $5 y cada minuto de publicidad en televisión cuesta
$100. La compañía desearía utilizar la radio
cuando menos dos veces más que la televisión. La
experiencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por
televisión generará en términos generales 25
más venta que cada minutos de publicidad por la radio.
Determine la asignación óptima del presupuesto
mensual por anuncios por radio y televisión.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de
presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2
…….(1) Sujeto a:

5×1 + 100×2 < 1000 …….. (2) x2 >
(2)(x1) x1 > (25)(x2) ……….(3) x1, x2 >
0

Problema 27: Una compañía
elabora dos productos: A y B. El volumen de ventas del producto A
es cuando menos el 60% de las ventas totales de los dos
productos. Ambos productos utilizan la misma materia prima, cuya
disponibilidad diaria está limitada a 100 lb. Los
productos A y B utilizan esta materia prima en los índices
o tasas de 2 lb/unidad y 4 lb/unidad, respectivamente. El precio
de venta de los productos es $20 y $40 por unidad. Determine la
asignación óptima de la materia prima a los dos
productos.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades
del Producto B Max Z = 20×1 + 40×2 …….(1) Sujeto
a:

2×1 + 4×2 < 100 …….. (2) x1 >
(0.6)(60) ……….(3) x1, x2 > 0

Problema 28: Una compañía
elabora dos tipos de sombreros. Cada sombrero del primer tipo
requiere dos veces más tiempo de manos de obra que un
producto del segundo tipo. Si todos los sobreros son
exclusivamente del segundo tipo. La compañía puede
producir un total de 500 unidades al día. El mercado
limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a 150 y 200
unidades. Supóngase que la ganancia que se obtiene por
producto es $8 por el tipo 1 y $5 para el tipo 2. Determine el
número de sobreros de cada tipo que debe elaborarse para
maximizar la ganancia.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1 x2 = la Cantidad de
Unidades del Sombrero TIPO 2 Max Z = 8×1 + 5×2
…….(1) Sujeto a:

150×1 + 200×2 < 500 …….. (2) x1 >
(2)(200) ……….(3) x1, x2 > 0

Problema 29: Una empresa pequeña,
cuenta con dos máquina para elaborar dos productos. Cada
producto tiene que pasar por la máquina A y después
por la máquina B. El producto 1 requiere 3 horas de la
máquina A y 2 de la máquina B, mientras que el
producto 2 requiere 1 hora de la máquina A y 2 horas de la
máquina B. La capacidad de las máquina A y B son
500 y 650 horas semanales respectivamente. El producto a deja 350
pesos y el segundo producto B deja 600 pesos por utilidades.
Analice usted la situación de la operación de esta,
dado que por escasez de materia prima no puede producir
más de 21 unidades del producto.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de Unidades del Producto A x2 = la Cantidad de Unidades
del Producto B Max Z = 350×1 + 600×2 …….(1) Sujeto
a:

3×1 + 1×2 < 500 …….. (2) 2×1 + 2×2 <
650 …….. (3) x1 + x2 < 21
………….(4) x1, x2 > 0

Problema 30: El grupo "IMPEXA", desea
hacer publicidad para su productos en tres diferentes medios:
radio, televisión y revista. El objetivo principal es
alcanzar tantos clientes como sea posible. Han realizado un
estudio y el resultado es:

"IMPEXA" no quiere gastar más de $1,200,00.
Además en publicidad por televisión no desean
gastar más de 750 mil pesos. Se desean comprar tres
unidades de televisión durante el día y 2 unidades
durante la noche. Plantee el problema como un modelo de
programación lineal.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR? x1 = la
Cantidad de clientes Potenciales por día x2 = la Cantidad
de clientes Potenciales por noche x3 = la Cantidad de clientes
por Radio x4 = la Cantidad de clientes por revistas Max Z = x1 +
x2 + x3 + x4…….(1) Sujeto a: (RESTRICCIONES DE
BALANCE) x1 + x2 + x3 + x4 < 1,200,000 x1 + x2 < 750,000 x1
> 450,000 x1 < 500,000 x2 > 800,000 x2 < 1,000,000 x3
> 375,000 x3 < 650,000 x4 > 200,000 x4 < 250,000 3×1
< 2×2

Problema 31: La señora Morales
tiene una dieta a seguir, la cual reúne los siguientes
requisitos alimenticios.

• Al menos 4 mg. de vitamina A

• Al menos 6 mg. de vitamina B

• A lo más 3 mg. de vitamina D

Así mismo, la dieta está formada por pan,
queso, buebo, y carne. La tabla siguiente nos da los
requerimientos por vitamina en mg. así como el
costo:

Contenido en mg por gramo de producto

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad a comprar de PAN x2 = la Cantidad a comprar de QUESO x3
= la Cantidad a comprar de HUEVO x4 = la Cantidad a comprar de
CARNE Min W = 40×1 + 31×2 + 19×3 + 53×4…….(1)
Sujeto a:

0.20×1 + 0.15×2 + 0.15×3 + 0.30×4 > 4 0.18×1 + 0.10×2
+ 0.40×3 + 0.35×4 > 6 0.10×1 + 0.14×2 + 0.15×3 + 0.16×4 > 3
x1, x2, x3, x4 > 0 Problema 32: (Inversiones)
A Julio que es asesor de inversiones, se le presentan 4 proyectos
con sus respectivos costos en un período de tres
años, así como la utilidad total. El requiere
maximizar la utilidad total disponiendo de $50,000; $24,000; y
$30,000 en cada uno de los años siguientes:

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad de Maíz Libra por libra de Alimento x2 = la
Cantidad de Harina de Soya Libra por libra de Alimento Min Z =
0.2×1 + 0.6×2 …….(1) Sujeto a:

0.001×1 + 0.002×2 < (90)(0.01) …….. (2)
0.09×1 + 0.6×2 < (90)(0.3) ……….(3) 0.02×1
+ 0.06×2 > (90)(0.05) ………. (4) lo que queda Planteado
x1, x2 > 0 Disponibilidad:

Las cantidades disponibles por año se asignan a
las diferentes variables o proyectos bajo estas restricciones
para optimizar o maximizar la utilidad total.

Problema 33: Supóngase que el
Banco de Crédito al Campesino tiene dos planes de
inversión a saber: El primero en el programa de tierras de
riego, el segundo en el programa de tierras de temporal. El
primer programa regresa un 30% de la inversión al fin del
año, mientras que el segundo plan regresa un 65% de la
inversión, para el término de dos años. Los
intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en
cualquiera de ambos planes. Formule el programa lineal que le
permita al banco maximizar la inversión total en un
sexenio, si la inversión es de $ 100 millones.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a MAXIMIZAR? xiR = la
Cantidad de inversión de riesgo a una año i xiT =
la Cantidad de inversión Temporal en 2 años i donde
i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Max Z = x1 + x2 + x3 + x4…….(1) Sujeto a:
(RESTRICCIONES DE BALANCE) x1R + x1T < 100,000 x2R + x2T <
1.30x1R x3R + x3T < 1.30x2R + 1.65x1T x4R + x4T < 1.30x3R +
1.65x2T x5R + x5T < 1.30x4R + 1.65x3T x6R < 1.30x5R +
1.65x4T x1T, xR > 0

Problema 34: Una compañía
de perfumes puede anunciar su producto mediante el uso de
estaciones de radio y televisión. Su presupuesto limita
los gastos de publicidad a $1,500 por mes. Cada minuto de anuncio
en la radio cuesta $15 y cada minuto de publicidad en
televisión cuesta $90. La compañía
desearía utilizar la radio cuando menos dos veces
más que la televisión. Los datos históricos
muestran que cada minuto de publicidad por televisión
generará en términos generales 30 veces más
ventas que cada minuto de publicidad por radio. Determine la
asignación óptima del presupuesto mensual para
anuncios por radio y televisión.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad de presupuesto mensual para el Radio x2 = la Cantidad de
presupuesto mensual para el Televisor Max Z = x1 + x2
…….(1) Sujeto a:

15×1 + 90×2 < 1500 …….. (2) x2 >
(2)(x1) x1 > (30)(x2) ……….(3) x1, x2 >
0

Problema 35: Una Tienda de animales ha
determinado que cada Hámster debería recibirla
menos 70 unidades de proteína. 100 unidades de
carbohidratos y 20 unidades de grasa. Si la tienda vende los seis
tipos de alimentos mostrados en la tabla. ¿Qué
mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo
mínimo para la tienda?

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad a mezclar de A x2 = la Cantidad a mezclar de B x3 = la
Cantidad a mezclar de C x4 = la Cantidad a mezclar de D x5 = la
Cantidad a mezclar de E x6 = la Cantidad a mezclar de F Min W =
2×1 + 3×2 + 5×3 + 6×4 + 8×5 + 8×6…….(1) Sujeto
a:

20×1 + 30×2 + 40×3 + 40×4 + 45×5 + 30×6 < 70
……… PROTEÍNA 50×1 + 30×2 + 20×3 + 25×4 + 50×5 + 20×6
< 100 —— CARBOHIDRATOS 4×1 + 9×2 + 11×3 + 10×4 + 9×5 +
10×6 < 20 ———- GRASA x1, x2, x3, x4 > 0

Problema 35: Una compañía
manufacturera local produce cuatro deferentes productos
metálicos que deben maquinarse, pulirse y ensamblarse. La
necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada
producto son las siguientes:

La compañía dispone semalmente de 480
horas para maquinado, 400 horas para el pulido y 400 horas para
el ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6, $4, $6
y $8 respectivamente. La compañía tiene un contrato
con un distribuidor en el que se compromete a entregar
semanalmente 50 unidades del producto 1 y 100 unidades de
cualquier combinación de los productos II y III,
según sea la producción, pero sólo un
máximo de 25 unidades del producto IV.
¿cuántas unidades de cada producto debería
fabricar semanalmente la compañía a fin de cumplir
con todas las condiciones del contrato y maximizar la ganancia
total? Considere que las piezas incompletas como un modelo de
Programación Lineal.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar
del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 =
la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6×1 + 4×2 + 6×3 +
8×4…….(1) Sujeto a:

3×1 + 2×2 + 2×3 + 4×4 < 480 1×1 + 1×2 + 2×3 + 3×4
< 400 2×1 + 1×2 + 2×3 + 1×4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 >
100 x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0

Problema 36: Se procesan cuatro
productos sucesivamente en dos máquina. Los tiempos de
manufactura en horas por unidad de cada producto se tabulan a
continuación para las dos máquinas:

El costo total de producir una unidad de cada producto
está basado directamente en el tiempo de máquina.
Suponga que el costo por hora para las máquina 1 y 2 es
$10 y $15. Las horas totales presupuestadas para todos os
productos en las máquina 1 y 2 son 500 y 380. si el precio
de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 en $65, $70,
$55 y $45, formule el problema como modelo de programación
lineal para maximizar el beneficio neto total.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Maximizar? x1 = la
Cantidad a fabricar del producto 1 x2 = la Cantidad a fabricar
del producto 2 x3 = la Cantidad a fabricar del producto 3 x4 = la
Cantidad a fabricar del producto 4 Max W = 65×1 + 70×2 + 55×3 +
45×4…….(1) Sujetos a:

2×1 + 3×2 + 4×3 + 2×4 < 500 3×1 + 2×2 + 1×3 + 2×4
< 380 x1, x2, x3, x4 > 0

Problema 37: La compañía
Delta tiene maquinaria especializada en la industria de
plástico. La compañía se dispone a iniciar
operaciones el próximo mes de enero y cuenta con $300,000
y diez máquinas. La operación de cada
máquina requiere de $4,000.00 al inicio de una mes para
producir y al fin del mes la cantidad de $9,000.00 sin embargo,
para cada dos máquinas se necesita un operador cuyo sueldo
mensual es de $3000.00 pagando al principio del mes. La
compañía se propone planear su producción,
empleo de operador y compra de maquinaria que debe tener, al
principio del mes siete, al máximo número de
máquina en operación. Al principio de cada mes la
compañía tiene disponibles tres alternativas para
adquirir maquinaria. En la primera alternativa puede comprar
máquina de $20,000.00 cada una con un periodo de entrega
de una mes. Esto es, si al principio de cada mes "t" se pide y
paga la maquinaria, está se entregará al principio
del mes t + 1.

En la segunda alternativa, se puede comprar en
$15,000.00 cada maquinaria, pero el periodo de entrega es en dos
meses. La última alternativa s comprar en $10,000.00 cada
máquina con un periodo de entrega en tres meses. Formule
un modelo de programación lineal que permita determinar la
política de compra de maquinaria, producción y pago
de operadores en cada mes, de manera tal que al principio del mes
siete tenga el máximo número de máquina en
operación.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad a fabricar del producto I x2 = la Cantidad a fabricar
del producto II x3 = la Cantidad a fabricar del producto III x4 =
la Cantidad a fabricar del producto IV Min W = 6×1 + 4×2 + 6×3 +
8×4…….(1) Sujeto a:

3×1 + 2×2 + 2×3 + 4×4 < 480 1×1 + 1×2 + 2×3 + 3×4
< 400 2×1 + 1×2 + 2×3 + 1×4 < 400 x1 > 50 x2 + x3 >
100 x4 < 25 x1, x2, x3, x4 > 0

Problema 38: Una compañía
de productos químicos que labora las 24 horas del
día tiene las siguientes necesidades de personal
técnico y especializado

Observe que el periodo 1 sigue al periodo 6. Considere
que cada persona en la compañía labora 8 horas
consecutivas. Suponga que Xt y Zt, denotan el número de
personas técnicas y especializadas, respectivamente, que
empiezan a trabajar al inicio del periodo t en cada día.
En esta compañía, el acuerdo sindical establece que
en todo momento debe haber por lo menos tres veces el
número de personal técnico que de personal
especializado. Establezca un modelo de programación lineal
pata determinar el mínimo número de personal
técnico y especializado para satisfacer las necesidades
diarias de trabajo en el compañía.

Solución:

xiR = la Cantidad de personal técnico xiT = la
Cantidad de personalidad especializado donde i = 1, 2, 3, 4, 5,
6.

Min Z = x1 + x2 Sujetos a: 20×1 + 8×2 > 60 40×1 +
12×2 > 120 80×1 + 15×2 > 240 45×1 + 9×2 > 3(45) 25×1 +
3×2 > 75 10×1 + 2×2 > 30

Problema 39: Ferrocarriles Nacionales de
México tiene al inicio del próximo año la
siguiente demanda de locomotoras diesel para ocupar su sistema en
todo el país:

La gerencia de ferrocarriles puede satisfacer su demanda
mediante la combinación de las siguientes
alternativas:

• Uso de la existencia de locomotoras diesel en estado
  de trabajo

• Compra de locomotoras al extranjero las cuales
  pueden entregarse al principio de cualquier
  trimestre

• Reparar locomotoras en los talleres nacionales con
  carácter normal. El tiempo re reparación es de
  6 meses.

• Reportar locomotoras en los talleres nacionales con
  carácter urgente. El tiempo de reparación es de
  3 meses.

La alternativa b tiene un costo de $5,000,000 por
locomotora La alternativa c tiene un costo de $100,000 por
locomotora La alternativa d tiene un costo de $250,000 por
locomotora Se estima que al principio del año se
tendrán 650 locomotora en estado de trabajo y el
presupuesto de operación para ese año es de
$100,000,000 entregado en partidas trimestrales de 40, 30, 20 y
10 millones respectivamente.

Se supone que al final de cada trimestre el 5% de las
locomotoras debe mantenerse a reparación y el 5% quedan
fuera de servicio. Formule un problema de programación
lineal que permita determinar la combinación de
políticas que debe tomar en cuenta la gerencias de
F.F.C.C. para minimizar costos y satisfacer la demanda de
locomotoras.

Solución:

¿Qué es lo que vamos a Minimizar? x1 = la
Cantidad de Demanda en el trimestre 1 x2 = la Cantidad de Demanda
en el trimestre 2 x3 = la Cantidad de Demanda en el trimestre 3
Min W = 5,000,000×1 + 100,000×2 + 250,000×3 …….(1)
Sujeto a:

x1 + x2 + x3 < 100,000,000 750×1 + 800×2 + 780×3 >
650 x1 > (0.05)(750) x2 > (0.05)(800) x3 > (0.05)(780)
x1, x2, x3, x4 > 0

Problema 40: Una compañía
produce azúcar morena, azúcar blanca, azúcar
pulverizada y melazas con el jarabe de la caña de
azúcar. La compañía compra 4000 toneladas de
jarabe a la semana y tiene un contrato para entregar un
mínimo de 25 toneladas semanales de cada tipo de
azúcar. El proceso de producción se inicia
fabricando azúcar morena y melazas con el jarabe. Una
tonelada de jarabe produce 0.3 toneladas de azúcar morena
y 0.1 toneladas de melazas. Después el azúcar
blanca se elabora procesando azúcar morena. Se requiere 1
tonelada de azúcar morena para producir 0.8 toneladas de
azúcar blanca. Finalmente, el azúcar pulverizada se
fabrica de la azúcar blanca por medio de un proceso de
molido especial, que tiene 95% de eficiencia de conversión
(1 tonelada de azúcar blanca produce 0.95 toneladas de
azúcar pulverizada). Las utilidades por tonelada de
azúcar morena, azúcar blanca, azúcar
pulverizada y melazas son de 150, 200, 230, y 35 dólares,
respectivamente. Formule el problema como un programa
lineal.

Solución: La producción de cada
tipo de azúcar de acuerdo al proceso de producción
se detalla a continuación por cada tonelada de material
empleado.

Determinamos las variables de
decisión:

Xi = producto obtenido (toneladas por semana), donde i:
1, 2, 3, 4; representa los diferentes tipos de productos. 1:
azúcar morena, 2: melaza, 3: azúcar blanca, 4:
azúcar pulverizada.

Las restricciones:

X1 / 0.3 + X2 / 0.1 <= 4000 (Restricción para
tn. de jarabe) X1 >=25000 (Restricción para tn. de
azúcar morena) X3 / 0.8 >= 25000 (Restricción
para tn. de azúcar blanca) X4 / 0.95 >=25000
(Restricción para tn. de azúcar pulverizada) X1,
X2, X3, X4 >=0 (Restricción de no negatividad) La
función objetivo para maximizar las utilidades:

f.o: max. z = 150X1 + 200X3 + 230X4 + 35X2 La estructura
del modelo es la siguiente:

Xi = producto obtenido (toneladas por semana) i: 1, 2,
3, 4 F.O Max z = 150X1 + 200X3 + 230X4 + 35X2 S.a:

X1 / 0.3 + X2 / 0.1 <= 4000 (Restricción para
tn. de jarabe) X1 >=25000 (Restricción para tn. de
azúcar morena) X3 / 0.8 >= 25000 (Restricción
para tn. de azúcar blanca) X4 / 0.95 >=25000
(Restricción para tn. de azúcar pulverizada) X1,
X2, X3, X4 >=0 (Restricción de no
negatividad)

Problema 41: Cuatro productos se
procesan en secuencia de dos maquinas. La siguiente tabla
proporciona los datos pertinentes al problema.

Formular el modelo como un modelo de programación
lineal.

Solución: Determinamos las variables de
decisión:

Xij: unidades producidas por tipo de producto j: 1, 2,
3, 4.

utilizando cada máquina i: 1, 2.

Las restricciones: